RELASI Dan FUNGSI

 

1. PENDAHULUAN

Hubungan (relationship) antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lainnya sering dijumpai pada banyak masalah. Misalnya hubungan antara mahasiswa dengan mata kuliah yang diambil, hubungan antara orang dengan kerabatnya, hubungan antara bilangan genap dan bilangan yang habis dibagi 2, dsb. Dalam ilmu komputer, contoh hubungan itu misalnya hubungan antara bahasa pemrograman dengan pernyataan (statement) yang sah, hubungan antara plaintext dan chipertext pada bidang kriptografi, dsb. Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur yang disebut relasi. Dalam bab ini dibahas mengenai relasi dan sifat – sifatnya, serta jenis khusus relasi yang disebut fungsi.

2. RELASI

2.1 Perkalian Kartesian (Cartesian Products)

Jika A dan B adalah sembarang himpunan maka perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan terurut (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.

A X B = { (a,b) | a ε A, b ε B }

 

Contoh :

A = {1,2,3} dan B = {a,b}

A X B = {(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)}

P = {1,2,3}

P X P = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3), (3,1),(3,2),(3,3)}

              2.2 Relasi

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunan bagian dari A X B

R ⊂ (A X B)

Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R

D = { a | a ε A, (a,b) ε R }

Himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R

E = { b |b ε B, (a,b) ε R }

Contoh :

A = {a,b}

A X A = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}

Banyaknya himpunan bagian suatu himpunan yang beranggotakan n anggota adalah 2n himpunan bagian.

A X A mempunyai 24 = 16 himpunan bagian. Maka relasi dari himpunan A ke himpunan A dapat dibuat 16 relasi, yaitu :

     R1 = Ø R8 = {(a,a),(b,b)} R15 = {(a,b),(b,a),(b,b)}

R2 = {(a,a)} R9 = {(a,b),(b,a)} R16 = A X A

R3 = {(b,a)} R10 = {(a,b),(b,b)}

R4 = {(a,b)} R11 = {(b,a),(b,b)}

R5 = {(b,b)} R12 = {(a,a),(a,b),(b,a)}

R6 = {(a,a),(a,b)} R13 = {(a,a),(a,b),(b,b)}

R7 = {(a,a),(b,a)} R14 = {(a,a),(b,a),(b,b)}

            Relasi R = {(p,1),(q,2),(r,3),(s,4)

Domain dari R = (p,q,r,s}

Range dari R = {1,2,3,4}

 

 

2.3 Relasi Invers

Relasi R dari himpunan A ke himpunan B, maka relasi dari himpunan B ke himpunan A merupakan invers dari R.

R = {(a,b) | a ε A, b ε B} maka R–1 = {(b,a) | b ε B, a ε A}

Contoh :

P = {a,b,c} Q={1,2}

R = {(a,1),(b,2)}

Maka R–1 = {(1,a),(2,b)}

2.4 Representasi Relasi

Seringkali relasi yang dinyatakan sebagai pasangan – pasangan berurutan sulit untuk dilihat dan dibayangkan, terutama bagi yang belum terbiasa dengan konsep–konsep relasi. Untuk itu ada cari lain untuk merepresentasikan relasi untuk membantu visualisasi relasi.

 

2.4.1 Representasi Relasi dengan Tabel

Jika relasi direpresentasikan dengan tabel, maka kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

Contoh :

Relasi antara A dan B = {(p,1),(q,2),(r,3),(s,4)}

Domain dari R = (p,q,r,s}

Range dari R = {1,2,3,4}

 

A

B

p

1

q

2

r

3

s

4

 

2.4.2 Representasi Relasi dengan Matriks

Misalkan R adalah relasi dari A = {a1,a2,….,am} dan B = {b1,b2, … bn}. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij].

 

 

 

Dengan kata lain, elemen matriks pada posisi (i,j) bernilai 1 jika ai dihubungkan dengan bj dan bernilai 0 jika ai tidak dihubungkan dengan bj

Contoh :

P = {2,4,8,9,15} dan Q = {2,3,4}

Relasi dari P ke Q dengan P habis dibagi Q

R = {(2,2),(4,2),(4,4),(8,2),(8,4),(9,3),(15,3)}

 

 

 

yang dalam hal ini a1= 2, a2 = 4, a3 = 8, a4 = 9, a5 = 15, b1 = 2, b2 = 3, b3 = 4

 

 

2.4.3 Representasi Relasi dengan Graph

Merupakan representasi relasi secara grafis. Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (simpul atau vertex) dan tiap pasangan berurut dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya ditunjukkan dengan sebuah panah. Jika (a,b) R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simbul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). Pasangan berurut (a,a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).

Contoh : R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,d),(d,b)} adalah relasi pada himpunan {a,b,c,d}.

 

 

 

 

2.5 Jenis Relasi

2.5.1 Relasi Refleksif

Relasi R pada himpunan A bila untuk setiap a ε A maka (a,a) ε R

Contoh :

A = {1,2,3,4}

R = {(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4)}

merupakan relasi refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,a) yaitu (1,1), (2,2),(3,3),(4,4)

R = {(1,1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4)} bukan relasi refleksif karena (3,3) ε R

 

2.5.2 Relasi Simetris

Relasi R pada himpunan A bila (a,b) ε R maka berarti (b,a) ε R

Contoh :

A = {1,2,3,4}

R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}, merupakan relasi simetris karena jika (a,b) ε R maka (b,a) juga ε R. Disini (1,2) dan (2,1) ε R juga (2,4) dan (4,2) ε R

R = {(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} bukan relasi simetris karena (3,2) ε R

 

2.5.3 Relasi Transitif

Relasi R pada himpunan A bila (a,b) ε R dan (b,c) ε R maka (a,c) ε R

Contoh :

A = {a,b,c }

R = {(a,b),(c,b),(b,a),(a,c)} bukan relasi transitif karena (c,b) ε R dan (b,a) ε R tetapi (c,a) ε R

B = {1,2,3,4}

R = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} bersifat transitif

 

2.5.4 Relasi Ekuivalen

Relasi dalam himpunan A disebut relasi ekuivalen jika R adalah refleksif, simetris, dan transitif sekaligus.

Contoh :

A adalah himpunan bilangan real

R adalah relasi pada A yang didefinisikan sebagai “x sama dengan y”, maka

– R relasi refleksif karena setiap bil real x maka x=x

– R relasi simetris karena setiap bil real x dan y bila x = y maka y=x

– R relasi transitif karena setiap bil real x, y, dan z bila x = y dan y=z maka x=z

Karena R relasi refleksif, simetris, dan transitif maka R relasi ekuivalensi.

 

2.6 Mengkombinasikan Relasi

Karena pada hakekatnya suatu relasi merupakan suatu himpunan, maka beberapa relasi juga dapat dioperasikan dengan operasi – operasi himpunan. Operasi himpunan yang sering dipakai pada relasi adalah gabungan (union) dan irisan (intersection). Misal R dan S adalah 2 buah relasi dari himpunan A ke himpunan B maka R ∪ S adalah himpunan semua pasangan berurutan (x,y) ε A X B sedemikian hingga (x,y) ε R atau (x,y) ε S.

R  S = {(x,y) | (x,y) ε R atau (x,y) ε S}

R ∩ S adalah himpunan semua pasangan berurutan (x,y) ε A X B sedemikian hingga (x,y) ε R dan (x,y) ε S.

R ∩ S = {(x,y) | (x,y) ε R dan (x,y) ε S}

Contoh :

A = {-1,0,1} dan B = {0,1}.

Relasi R dan S dari himpunan A ke himpunan B :

R = {(-1,0),(-1,1),(0,1)}

S = {(0,0),(1,1),(-1,1)}

R  S = {(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(1,1)}

R ∩ S = {(-1,1)}

2.7 Komposisi Relasi

Cara lain mengkombinasikan relasi adalah mengkomposisikan dua buah relasi atau lebih. Misal R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S dinotasikan dengan R o S adalah relasi dari A ke C.

Contoh :

R = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari himpunan {1,2,3} ke himpunan {2,4,6,8} dan S = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari himpunan {2,4,6,8} ke himpunan {s,t,u}.

R o S = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}

 

3. FUNGSI

Misal A dan B himpunan. Suatu relasi antara anggota – anggota himpunan A dengan anggota – anggota himpunan B disebut fungsi (pemetaan) bila relasi tersebut mengkaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

Jika f adalah fungsi dari A ke B maka f : A B yang artinya f memetakan A ke B

 

 

 

Himpunan A disebut domain (daerah asal) dari fungsi f .

Himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dari fungsi f .

Jika a ε A maka anggota B yang menjadi pasangan a disebut image (bayangan) a oleh f, yaitu b = f(a) , Himpunan semua anggota B yang menjadi pasangan a disebut range (daerah hasil) fungsi f yaitu range f.

 

 

Contoh :

Diketahui P = {a,b,c,d} dan Q = {p,r}

Didefinisikan fungsi f : P  Q sebagai f(a) = p, f(b) = r, f(c) = p, f(d) = p

fungsi f sebagai pasangan terurut :

f = {(a,p),(b,r),(c,p),(d,p)}

            range f = {p,r}

            domain f = {a,b,c,d}

 

3.1 Jenis Fungsi

3.1.1 Fungsi Onto (fungsi pada / surjektif)

Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B jika dan hanya jika range f sama dengan B

f(A)=B

Contoh :

A = {4,5,6,7} dan B = {1,2,3}

f = A  B yaitu f(4) = 1, f(5) = 3, f(6) = 1, f(7) = 2

f merupakan fungsi onto karena f(A) = B

 

3.1.2 Fungsi Satu – Satu (fungsi injektif)

jika tidak ada 2 elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. Dengan kata lain jika a dan b adalah anggota himpunan A, maka f(a) = f(b)

Contoh fungsi satu – satu adalah fungsi antara negara dengan bendera negara

 

3.1.3 Fungsi Berkoresponden Satu – Satu (fungsi bijektif)

 jika dan hanya jika f sekaligus merupakan fungsi onto dan fungsi satu – satu.

Contoh :

f = {(1,u),(2,w),(3,v)} dari A = {1,2,3} ke B = {u,v,w} merupakan fungsi bijektif

 

3.1.4 Fungsi Invers

Jika f adalah fungsi berkoresponden satu – satu dari A ke B maka invers (balikan) dari f dilambangkan f –1 ., Misal a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B maka ;

f–1 (b) = a jika f(a) = b

Contoh :

f = {(1,u),(2,w),(3,v)}

f–1 = {(u,1),(w,2),(v,3)}

 

3.1.5 Fungsi Identitas

 jika dan hanya jika f mengawankan setiap anggota A dengan dirinya sendiri.

f : A  A dan f sebagai f(x) = x

                         

                       

                         

3.1.6 Fungsi Konstan

jika dan hanya jika hanya satu anggota B menjadi pasangan dari setiap anggota A.

f : A B konstan jika dan hanya jika range f hanya mempunyai satu anggota.

 

 

3.2 Mengkomposisikan Fungsi

Karena fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi, kita juga dapat melakukan komposisi dari dua buah fungsi. Misal g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g dinotasikan dengan f o g adalah fungsi dari A ke C.  (f o g) (a) = f(g(a))

Contoh :

g = {(1,u),(2,u),(3,v)} yang memetakan A = {1,2,3} ke B = {u,v,w}

f = {(u,y),(v,x),(w,z)} yang memetakan B = {u,v,w} ke C = {x,y,z}

Fungsi komposisi dari A ke C adalah f o g = {(1,y),(2,y),(3,x)}

Perihal betara
berbagi dengan pengalaman yang ada

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: